究竟什么是刚度

在数学上来看,刚度的定义非常简单,即作用力(或矩)与该方向的位移(或转角)的比值。但这是一个形式上的定义。我们想更进一步。任何弹性体在受载变形时,总是能够产生空间分布的应力流,最典型的例子就是梁受弯时产生的拉压主应力流。在弹性体加载过程中,其内部形成的空间应力流会不断的改变(注意这里说的不是应力流本身,而是其改变,或者叫增量),形成了弹性体的抗力来源。如果将应力流看做一个类似于模态向量的多维向量,其空间分布形态对应着向量的方向,而在每一个方向对应着该方向的“大小”。

空间应力流不改变方向只改变其大小形成的刚度,与物理刚度对应。(物理刚度的名词有不认同的,这里暂且不论,所谓物理刚度,就是仅由材料本身的空间几何分布直接决定的刚度)。

在经典的材料力学中,对梁的受弯与受扭应用的平截面和刚周边的变形假定(其实也可以用用其他更“精确”的假定,例如抛物线等)。梁受弯的平截面假定意味着无论梁怎么受弯变形,其弯曲正应力流的空间分布形态基本不变,这是计算抗弯刚度EI的基础;而梁受扭时的刚周边假定则规定了扭转的螺旋力流的空间分布形态,这是计算扭转刚度的基础。其他所有物理刚度的计算,都有类似的前提:即某种形式空间应力分布形态已经确定之后,才能确定对立的物理刚度的计算。

虽然物理刚度本身是不依赖于受力状态的,但物理刚度的计算却需要先假定某种应力分布形态。以抗弯刚度EI为例,不同的I代表了不同的空间应力分布形态的效果对比。结构的设计,很大程度上体现在对抗力应力流的空间分布形态的设计,最终的效果就体现在物理刚度上。

但几何刚度的形成不同于前面的物理刚度。空间应力流只改变方向而不改变大小形成的刚度,与几何刚度对应。也就是说,几何刚度依赖于应力流的分布形态的改变(或者说是“方向”的变化),而不依赖其大小。例如具有初拉力的索承受横向荷载后,可以认为通过改变索的拉力的分布形态形成了结构弯曲刚度,而在这个过程中索力基本保持不变。

实际的结构中,总是同时存在着物理刚度和几何刚度的影响,之所以进行这样的区分,是为了考虑问题的方便。也就是说,两者是对立的统一。两者的统一性,这里暂且不深入探讨。

由前面两种刚度的形成本质的区别,我们就能理解为什么一阶分析(只考虑物理刚度)可以使用变形之前的位置建立平衡方程?因为物理刚度在变形前后是一样的。对二阶分析而言(同时考虑物理刚度和几何刚度),因为几何刚度依赖于应力流的分布形态,而在轴力(或膜力)比较大的情况下,变形前后的应力流的分布形态会有很大的变化,因此必须在变形之后的位置上建立平衡方程,否则就漏掉了几何刚度的影响。而对各种空间张拉结构,其刚度主要由几何刚度提供,所以其分析通常不能采用一阶的方式进行。

弹性稳定问题的产生与求解,都与几何刚度有很大的关系。理解了几何刚度的起源,也就理解了弹性稳定问题。


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